Позиційні системи числення

Розглянемо особливості запису чисел за допомогою об'єднання одиниць в групи. Запишемо результати підрахунку кількості вузликів на ремінці при об'єднанні їх у групи різними способами:

 

Зверніть увагу, що цифру, яка означає кількість груп, записують лівіше цифри, яка означає кількість окремих одиниць. Розглянемо спочатку перший запис, який слід читати так: 2 групи по десять і 9 одиниць.

Додамо ще одну одиницю. Виходить 2 групи по десять і ще десять одиниць, які тепер теж можна об'єднати в групу. Тобто ми маємо рівно 3 групи.

Як записати таке число? Написати просто 3 не можна, тому що це буде означати тільки три одиниці. Потрібно, щоб по запису було зрозуміло, що цифра 3 означає саме кількість окремих одиниць. Необхідно записати цифру 3 лівіше місця для цифри одиниць. Але у нас не залишилося окремих одиниць, чим же зайняти це місце?

Тут нам допоможе особлива цифра 0 (нуль), яку ми поставимо на це «незайняте» місце для одиниць. Вийде запис: 30. Вона означає, що ми маємо рівно 3 групи по десять, а окремих одиниць тут немає. Отже, якщо вважати вузлики на ремінці групами по десять одиниць, то їх число записується так: 29.

Тепер спробуємо рахувати вузлики по-іншому – групами по 8.

У цьому випадку для запису будь-якого числа буде достатньо всього восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7.

Справді:
1) сім одиниць можна записати просто як 7;
2) вісім одиниць вже можна об'єднати в групу: вийде 1 група і 0 одиниць, тобто можна зробити запис: 10. Однак за таким записом видно, що в числі рівно одна група, але не зрозуміло, скільки одиниць об'єднується в групу. Тому до запису числа приписують знизу маленьку вісімку: 10₈;

3) з дев'яти одиниць вийде 1 група по вісім і 1 одиниця, тобто можна зробити запис 11₈ і так далі.

Кажуть, що числа 10₈, 11₈ записані у вісімковій системі числення або в системі числення з основою 8.

Якщо рахувати групами по 8 одиниць, то число вузликів на ремінці запишеться так: 35₈.

Отже, одне і те ж число можна записати по-різному: в системах числення з різними основами.

Позиційна система числення з основою 10 називається десятеричною або десятковою системою числення. Зараз вона звична для всіх людей, тому при запису чисел у цій системі основа не вказується: замість 29₁₀ пишуть просто 29. Зверніть увагу, що основа системи (яка зображується нижнім індексом) записується в десятковій системі і при розгляді інших систем числення.

Тепер розглянемо рахунок, при якому предмети об'єднувалися в групи по 5, і пов'язаний з цим запис чисел в п’ятеричній системі числення.

В системі числення з основою 5 використовується тільки 5 цифр: 0, 1, 2, 3 і 4.  

Запишемо кількість вузликів на нашому ремінці в п’ятеричній системі.

Отримуємо 5 груп по п'ять вузликів і ще 4 вузлика. Якщо 5 одиниць ми об'єднуємо в групу, то й 5 груп, що утворилися ми теж повинні об'єднати в групу.

Тобто вийде: 1 група, складена з груп (назвемо її групою другого порядку), звичайних груп (назвемо їх групами першого порядку) немає і 4 одиниці.

Для запису цифри, яка позначить кількість груп другого порядку, буде потрібно нове місце (нова позиція) лівіше позиції для цифри груп першого порядку: 104₅.

За матеріалами підручника "Э. Г. Гельфман, О. В. Холодная МАТЕМАТИКА Учебник для 5 класса Часть 1"