Хто зневажає досягнення математики, той завдає шкоди всій науці, бо той, хто не знає математики, не може вивчити інші точні науки й не може пізнати світ (XIII ст.). Белл Е.

четвер, 3 вересня 2015 р.

Запис чисел в десятковій системі числення

Як ми вже переконалися, позиційні системи числення можуть бути з різними основами, але для нас найважливішою є десяткова система числення - позиційна система числення з основою десять.


Давайте проаналізуємо, як ми записуємо числа, користуючись десятковою системою.

Уявіть собі, що ви крокуєте по стежці і рахуєте свої кроки.

«Один, два, три, чотири, п'ять, шість, сім, вісім, дев'ять».

Відрахували дев'ять одиниць. Зробимо ще крок - додаємо ще одну одиницю. Тепер у нас вже десять одиниць, які можна об'єднати в групу. Ви добре знаєте, що така група називається десяток.

Запишемо кількість відлічених кроків так: 10.

Рахуємо далі.

«Один десяток і один:                                                11, 
один десяток і два:                                                     12, 
................................... ..., 
два десятки:                                                                 20,
 ......................................, 
три десятки і шість:                                                    36, 
......................................, 
дев'ять десятків і вісім:                                              98 , 
дев'ять десятків і дев'ять:                                           99, 
десять десятків ». 

Стоп! Десять десятків - це знову група, але вже другого порядку. Для такої групи в десятковій системі теж є спеціальна назва - сотня. Таке число кроків ми запишемо: 100.

Рахуємо далі: 

сотня і один (сто і один)                                           101,
.............................. ........., 
два рази по сто:                                                         200. 
Прокрокували ще трішки:
 ............................. .........., 
два рази по сто, три рази по десять і ще сім           237. 

Зупинимося на деякий час, щоб відзначити важливі моменти на майбутнє.

Для більшої наочності ми будемо використовувати ще один спосіб представлення чисел - занесення в таблицю розрядів (розряд - це позиція, в якій знаходиться цифра в запису числа):


Таблицю розрядів можна використовувати при роботі в системі числення з будь-якою основою.

Наприклад, у вісімковій системі числення:


Ще не так давно при роботі з числами використовували дуже простий інструмент - рахівницю, що схожа на таблицю розрядів. Кілька металевих прутиків вставлені в дерев'яну раму, і на кожен прутик нанизано десять дерев'яних «кісточок».
Перераховуючи якісь предмети, починають по одній пересувати вліво (відкладати) кісточки на найнижчому прутику. Дорахувавши до десяти, переходимо на прутик вище.
Десять відкладених кісточок одного прутика замінюємо однією кісточкою верхнього сусіднього прутика, а звільнені кісточки нижнього повертаємо на місце, і вони знову готові для відкладання.


Ось так на рахівниці буде виглядати число 237:


Можна легко перетворити звичайні рахунки, припустимо, в п’ятиричні, залишивши на кожному прутику по п'ять кісточок або відокремивши зайві кісточки за допомогою планки.


Подивіться на ці рахівниці.






На кожній відкладено по 5 кісточок. Кількість кісточок однаково, а числа відкладені різні, тому що значення кожної кісточки залежить від того, на якому прутику вона відкладена. На лівому малюнку на рахівниці представлено 5 одиниць, а на правому малюнку - 5 десятків.

Значення кожної кісточки на рахівниці залежить від того, на якому прутику вона відкладена. Значення кожної цифри в записі числа залежить від її позиції - від того, в якому розряді вона стоїть.

Подивіться на ці числа:


5 - 5 одиниць 
50 - 5 десятків 
500 - 5 сотень

Можна сказати, що до запису числа 5 праворуч приписують нулі. При цьому число збільшується.

А якщо приписати нулі до запису цифри не праворуч, а ліворуч? Цифра 5 залишиться в тому ж розряді, число не зміниться:

5 - 5 одиниць. 
05 - 5 одиниць. 
005 - 5 одиниць.

----------------------------------------------------------------------------------
500                              005
значущі нулі            незначущі нулі 
 ----------------------------------------------------------------------------------

Однак ми відволіклися. Адже ми крокували по стежці! Могли дійти й до такого числа: «10 сотень, ще 3 сотні, та ще 2 десятки та ще 5 кроків». Як його записати?

Десять сотень ми повинні знову об'єднати в групу, це вже буде група третього порядку. Для такої групи в десятковій системі теж є спеціальна назва - тисяча.


Для запису чисел розряду тисяч потрібна нова позиція лівіше цифри розряду сотень: 1325.

Таблиця розрядів все далі розгортається вліво. За розрядом десятків з'явився розряд сотень, потім розряд тисяч. Десять тисяч перетворяться на одиницю нового розряду - десятки тисяч, потім - сотні тисяч, потім - мільйони (тисяча тисяч) і так далі.


Весь цей час ми говорили про числа, які використовуються при підрахунку кількості окремих предметів: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... (три крапки означає, що ряд чисел буде тривати). Вони називаються натуральними числами. Нуль (0) - теж число, але його не відносять до натуральних чисел.

Немає коментарів:

Дописати коментар